Bases du traitement du signal déterministe
I.1) Premières définitions
On s'intéresse à une fonction de la variable \(t\), \(x(t)\). \(x\) peut être à valeurs complexes, \(t\) est une variable pouvant être éventuellement vectorielle. Dans le cadre de ce cours \(t\) sera une variable scalaire que l'on considérera comme le temps.
Une fonction \(x(t)\) satisfaisant les conditions de Dirichlet peut être décomposée sur une base infinie de fonctions sinusoïdales.
\[x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f)\, e^{j2\pi ft}\, df \quad \Rightarrow \text{ décomposition intégrale de Fourier}\]
\[X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\, e^{-j2\pi ft}\, dt \quad \Rightarrow \text{ transformée de Fourier}\]
Conditions de Dirichlet : suffisantes mais non nécessaires
- \(x(t)\) possède un nombre fini de discontinuités sur tout intervalle fini.
- \(x(t)\) possède un nombre fini d'extrema sur tout intervalle fini.
- \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|\, dt < +\infty\) : absolument sommable.
Exemple : \(x(t)\) est une impulsion rectangulaire : \(x = \text{rect}_T(t)\)
\[X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\, e^{-j2\pi ft}\, dt = \int_{-T/2}^{T/2} A\, e^{-j2\pi ft}\, dt = A \left[\frac{e^{-j2\pi ft}}{-j2\pi f}\right]_{-T/2}^{T/2}\]
\[= \frac{-A}{j2\pi f}\left(e^{-j\pi fT} - e^{j\pi fT}\right) = \frac{A}{\pi f}\sin(\pi fT) = TA\, \text{sinc}(fT)\]
Sinus cardinal :
\[\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\]
I.2) Propriétés de la TF
On note \(x(t) \rightleftharpoons X(f)\) la paire transformée de Fourier.
① Linéarité :
\[x_1(t) \rightleftharpoons X_1(f)\]
\[x_2(t) \rightleftharpoons X_2(f)\]
\[\alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \rightleftharpoons \alpha X_1(f) + \beta X_2(f) \quad \forall\, \alpha, \beta \in \mathbb{C}\]
② Changement d'échelle :
\[x(t) \rightleftharpoons X(f)\]
\[x(\alpha t) \rightleftharpoons \frac{1}{|\alpha|}\, X\!\left(\frac{f}{\alpha}\right)\]
③ Retard temporel :
\[x(t) \rightleftharpoons X(f)\]
\[x(t - \tau) \rightleftharpoons e^{-j2\pi f\tau}\, X(f)\]
④ Déplacement fréquentiel (modulation d'amplitude) :
\[e^{j2\pi f_0 t}\, x(t) \rightleftharpoons X(f - f_0)\]
⑤ Moyennes :
\[X(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\, dt \quad \leftarrow \text{valeur moyenne de } x(t)\]
\[x(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f)\, df\]
⑥ Différenciation dans le domaine temporel :
\[x(t) \rightleftharpoons X(f) \qquad \frac{d^n x(t)}{dt^n} \rightleftharpoons (j2\pi f)^n\, X(f)\]
⑦ Intégration :
\[\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\, dt \rightleftharpoons \frac{X(f)}{j2\pi f}\]
⑧ Dualité :
\[x(t) \rightleftharpoons X(f)\]
\[X(t) \rightleftharpoons x(-f)\]
⑨ Symétries et conjugaisons :
\[x(t) \rightleftharpoons X(f)\]
\[\boxed{x^*(t) \rightleftharpoons X^*(-f)}\]
\[\boxed{x(-t) \rightleftharpoons X(-f)}\]
\[\boxed{x^*(-t) \rightleftharpoons X^*(f)}\]
Cas particulier : \(x(t)\) est réel \(\Rightarrow X(f) = X^*(-f)\) — symétrie hermitienne.